题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线上
与椭圆C交于A，B两点，点
，且
，求直线l的方程.
【答案】（1）
；（2）
或
．
【解析】
（1）根据椭圆的定义首先求得椭圆的短半轴，进而根据离心率求得椭圆的半焦距，根
，
和
的关系求得，则椭圆方程可得．
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去
，根据直线与椭圆的两个交点判断出判别式大于0，求得
的范围，设
，
的坐标，则根据韦达定理求得
，
的表达式，根据直线方程求得
的表达式，进而可表示出
中点的坐标，根据
推断出
，可知
，求得，则直线方程可求得．
（1）由已知
，
，
解得
，
，
所以
，
所以椭圆
的方程为．
（2）由
得，
，
直线与椭圆有两个不同的交点，所以△
，
解得
．
设
，
，
，
，
则
，
，
计算
，
所以，，中点坐标为
，
因为，所以，，
所以
，
解得
，
经检验，符合题意，
所以直线
的方程为或．
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