Question

已知点C（4，0）和直线l：x=1，过动点P作PQ⊥l，垂足为Q，且；
（1）求点P的轨迹方程，
（2）过点C的直线m与点P的轨迹交于两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中x₁x₂＞0，点B（1，0），若△BMN的面积为，求直线m的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知，设P（x，y），代入得，整理得点P的轨迹方程．
（2）由题知直线m的斜率不为0，且点C（4，0）为双曲线 的右焦点，设m的方程为x=ty+4，由得（3t²-1）y²+24ty+36=0，所以x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16．由此入手能够求出直线m的方程．
解答：解：（1）由题，∴，
设P（x，y），
代入得，
整理得点P的轨迹方程为：，（3分）
（2）由题知直线m的斜率不为0，
且点C（4，0）为双曲线的右焦点，
设m的方程为x=ty+4，由得（3t²-1）y²+24ty+36=0，（5分）
易知3t²-1≠0且，
∴x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16，（7分）
由x₁x₂＞0得，=，（10分）
解得或（舍），
∴，
直线m的方程为：2x+y-8=0或2x-y-8=0．（12分）
点评：本题考查轨迹方程的求法和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．