Question

设函数f（x）=ax²+8x+3（a＜0），对于给定的负实数a，有一个最大正数l（a），使得
x∈[0，l（a）]时，不等式|f（x）|≤5都成立．
（1）当a=-2时，求l（a）的值；
（2）a为何值时，l（a）最大，并求出这个最大值，证明你的结论．

Answer 1

解：（1）当a=-2，f（x）=-2x²+8x+3最大值11，
令|f（x）|=5只须考虑-2x²+8x+3=5
得x=2±．如图，l（a）=2-．
（2）f（x）=ax²+8x+3，
∵a＜0，对称轴，f（x）的最大值，
当即a＞-8时，取x²+8x+3=5得x=．
如图，
当即a≤-8时，
取-（ax²+8x+3）=5得，
取
（当a=-8时取等号）
∴当a=-8时，l（a）最大，最大值是．
分析：由题意（1）由于a=-2，代入函数f（x）=ax²+8x+3（a＜0），使得f（x）的解析式具体，画出图形即可；
（2）由题意及二次函数为开口向下的要使x∈[0，l（a）]时，不等式|f（x）|≤5都成立，利用分类讨论的思想可以求解．
点评：此题考查了二次函数在闭区间上的最值，还考查了分类讨论的思想及无理不等式的求解．