Question

（2012•威海二模）若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则tan

φ

2

=（　　）

A．0

B．1

C．-1

D．1或-1

Answer 1

分析：根据偶函数的定义结合两角和的正弦公式展开，比较系数得cosφ=0，可得φ=

π

2

+kπ，k∈Z．再分k为奇数或偶数进行讨论，即可得到的tan

φ

2

的值．

解答：解：∵函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数
∴f（-x）=f（x），即sin（-x+φ）=sin（x+φ）对任意的x∈R成立
可得sinφcosx-sinxcosφ=sinxcosφ+cosxsinφ，即2sinxcosφ=0对任意的x∈R成立
∴cosφ=0，得φ=

π

2

+kπ，k∈Z
∴tan

φ

2

=tan（

π

4

+

kπ

2

）
当整数k是偶数时，tan

φ

2

=tan

π

4

=1；当整数k是奇数时，tan

φ

2

=tan

3π

4

=-1
∴tan

φ

2

=1或-1
故选D

点评：本题给出三角函数为偶函数，求参数φ的半角的正切值，着重考查了和与差的三角公式和三角函数的奇偶性等知识，属于基础题．