Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n．
（I）证明：数列{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），求数列{}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，由此利用构造法能够证明数列{a_n+2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（Ⅱ）由，得，由此利用错位相减法能够求出数列{}的前n项和T_n．
解答：（I）证明：由S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴，
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴，
∴．
（Ⅱ）解：∵，
∴b_n=n（n+1），
∴，
∴
=1-+-+…+
=1-
=．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用．