Question

已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．

(1)证明：＜；

(2)证明：(1＋m)ⁿ＞(1＋n)^m．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：对于1＜i≤m，有：＝m(m－1)…(m－i＋1)， 　　＝·…． 　　同理有：＝·…．因为m＜n且＞(k＝1，2，…，i－1)，所以＞．即mi＞ni． 　　(2)由二项式定理，有：(1＋m)n＝，(1＋n)m＝，由(1)知mi＞ni(1＜i≤m＜n)，又m0＝n0＝1，m＝n＝mn，mi＞0(m＜i≤n)．所以＞．即(1＋m)n＞(1＋n)m．