Question

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为，且过点（，1）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线l分别切椭圆C与圆M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出椭圆的方程，根据离心率及椭圆过点（，1）求出待定系数，即得椭圆的方程．
（II）用斜截式设出直线的方程，代入椭圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，化简|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．
解答：解：（I）设椭圆的方程为，则 ，a，
∴，
∵椭圆过点，∴，解得 a²=25，b²=9，
故椭圆C的方程为 （4分）

（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m，因为A既在椭圆上，又在直线AB上，
从而有，消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，
由于直线与椭圆相切，
故△=（50kmx）²-4（25k²+9）x25（m²-9）=0，从而可得：m²=9+25k²，①，x₁=，②
由．消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-R²=0，
由于直线与圆相切，得m²=R²（1+k²），③，x₂=，④
由②④得：x₂-x₁=，由①③得：k²=，（9分）
∴|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+k²）（x₂-x₁）²
==

即|AB|≤2，当且仅当R=时取等号，所以|AB|的最大值为2（12分）
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，基本不等式的应用．