题目内容

已知函数f（x）=sin²x-4acosx， $数学公式$
（1）当a=1时，求函数的最小值；
（2）若f（x）的最小值为 $数学公式$ 时，求a的值．

解：（1）当a=1时，函数f（x）=sin²x-4cosx=1-cos²x-4cosx=-（cosx+2）²+5，
令t=cosx，由于 $\text{[math]}$ ，∴t∈[0，1]．
故有f（x）=g（t）=-（t+2）²+5，由于g（t）在[0，1]上是减函数，故g（t）的最小值为g（1）=-4．
（2）由于函数g（t）=-t²-4at+1的对称轴为t=-2a，t∈[0，1]，区间的中点为 $\text{[math]}$ ，
当-2a≤ $\text{[math]}$ 时，函数g（t）=-t²-4at+1的最小值为 g（1）=-4a=- $\text{[math]}$ ，解得 a= $\text{[math]}$ ．
当-2a＞ $\text{[math]}$ 时，函数g（t）=-t²-4at+1的最小值为 g（0）=1≠- $\text{[math]}$ ，不满足条件．
综上可得，a= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）当a=1时，令t=cosx，由于 $\text{[math]}$ ，可得 t∈[0，1]，f（x）=g（t）=-（t+2）²+5，利用函数的单调性
求得g（t）的最小值．
（2）由于函数g（t）=-t²-4at+1的对称轴为t=-2a，t∈[0，1]，区间的中点为 $\text{[math]}$ ，分-2a≤ $\text{[math]}$ 以及-2a＞ $\text{[math]}$ 两种情况，
分别根据最小值为- $\text{[math]}$ ，求得 a的值．
点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

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