题目内容

已知函数f（x）=log₂x-x^-x，一定有零点的区间是

A.
（1，2）
B.
（2，3）
C.
（3，4）
D.
（4，5）

A
分析：由函数的解析式可得 f（1）=-1，f（2）= $\text{[math]}$ ，可得f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数零点所在的区间．
解答：由函数的解析式可得 f（1）=0-1=-1，f（2）=1-2^-2= $\text{[math]}$ ，∴f（1）f（2）＜0，
根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（1，2），
故选A．
点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，由函数的解析式求函数的值，属于基础题．

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已知函数f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
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恒成立；
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时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（　　）

已知函数f（x）=xlnx
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已知函数f（x）=

，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，

）上单调递减，在（

，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．