Question

如图所示,球O的半径为2,AC是球的直径,AB⊥BC,球O的截面BDC把球面面积分成3∶1的两部分,BC是截面圆的直径,D是底面圆周上的一点,且满足的弧长之比为1∶2.

(1)证明平面ABD⊥平面ADC;

(2)求异面直线AC和BD所成的角.

Answer 1

(1)证明:设截面圆圆心为O₁,则OO₁⊥BC于O₁,

AB⊥BC,且A、B、C、O、O₁共面,∴AB∥OO₁.

∵OO₁⊥平面BCD,∴AB⊥平面BDC.

∴AB⊥DC.又BD⊥DC,∴DC⊥平面ABD.

∵DC平面ADC,∴平面ABD⊥平面ADC.

(2)解析:在截面圆O₁中,作CEBD,由平面几何知识,E在圆O₁的圆周上,连结EA、BE,同(1)可证CE⊥AF,易知AB=2OO₁=2,BC=,

∵的弧长之比为1∶2,

∴BD=CE=3,DC=BE=3.

在Rt△ABE中,AE=,

在Rt△AEC中,tan∠ACE=,

∴所求角为arctan.