Question

如图所示,在三棱锥S—ABC中,侧棱SA、SB、SC两两垂直,若SO⊥底面ABC于点O,若将此三棱锥沿侧棱展成平面图形恰好可以形成一个边长为a的正方形.

         

(1)求证:O是底面△ABC的垂心;

(2)求二面角SABC的大小.

Answer 1

答案：解：(1)连结AO、BO,因为侧棱SA、SB、SC两两垂直,易证SA⊥平面SBC、SB⊥平面SAC、SC⊥平面SAB.

所以SA⊥BC,由三垂线定理的逆定理,AO⊥BC,同理可证BO⊥AC.所以O为高线的交点,即为△ABC的垂心.

(2)在三棱锥S—ABC中,过S作SD垂直AB于D,连结CD.因为SC⊥平面SAB,根据三垂线定理,CD⊥AB,所以∠SDC即为所求二面角SABC的平面角.

(注:连结CO并延长交AB于D,连结SD.由CS⊥平面SAB或由SO⊥平面CAB得SD⊥AB.得∠SDC为所求二面角的平面角.)

由于三棱锥的展开图是边长为a的正方形,则B、C分别是SS′和SS″的中点,即SB=SC=,

所以SA=a,AB=

在△SAB中,∠ASB=90°,SB=,SA=a,AB=,所以SD=.

所以tan∠SDC=,即二面角SABC的大小为arctan.