Question

如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2,M为AB的中点.

(1)证明：AC⊥SB.

(2)求二面角S—CM—A的大小.

(3)求点B到平面SCM的距离.

Answer 1

解法一：(1)如图，取AC中点D，连结DS、DB.

∵SA=SC,BA=BC,

∴AC⊥DS且AC⊥DB，

∴AC⊥平面SDB，

    又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.

(2)∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，

∴SD⊥平面ABC.

    过D作DE⊥CM于E，连结SE，

    则SE⊥CM，

∴∠SED为二面角S—CM—A的平面角.

    由已知有DEAM，所以DE=1,

    又SA=SC=2,AC=4,∴SD=2.

    在Rt△SDE中，tan∠SED==2,

∴二面角S—CM—A的大小为arctan2.

(3)在Rt△SDE中，SE=,CM是边长为4的正△ABC的中线，∴CM=2.

∴S_△SCM=CM·SE=×2×=,

    设点B到平面SCM的距离为h,

    由V_B—SCM=V_S—CMB,SD⊥平面ABC，

    得S_△SCM·h=S_△CMB·SD，

∴h==.

    即点B到平面SCM的距离为.