Question

如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

Answer 1

解：因为CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°-θ，∴∠OCP=120°．
在△POC中，由正弦定理得
=，∴=，所以CP=sinθ．
又=，∴OC=sin（60°-θ）．
因此△POC的面积为
S（θ）=CP•OCsin120°=•sinθ•sin（60°-θ）×
=sinθsin（60°-θ）=sinθ（cosθ-sinθ）
=（sinθcosθ-sin²θ）
=（sin2θ+cos2θ-）
=[cos（2θ-60°）-]，θ∈（0°，60°）．
所以当θ=30°时，S（θ）取得最大值为．
分析：根据CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP进而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S（θ）利用两角和公式化简整理后，利用θ的范围确定三角形面积的最大值．
点评：本题主要考查了三角函数的模型的应用．考查了考生分析问题和解决问题的能力．