Question

已知△ABC的内角A，B，X所对边分别为a，b，c，三个内角成等差数列，同时sinA，sinB，sinC成等比数列．
（1）求角B；
（2）试判断△ABC的形状，并加于证明．

Answer 1

分析：（1）先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，根据三角形内角和为180°；
（2）因为已求出∠B，可得∠A+∠C=120°①；，再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin²B=sinA•sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．

解答：解：（1）∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，
∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；
又sinA、sinB、sinC成等比数列，
∴sin²B=sinA•sinC=

3

4

，②
由①②得：sinA•sin（120°-A）
=sinA•（sin120°cosA-cos120°sinA）=

3

4

sin2A+

1

2

•

1-cos2A

2

=

3

4

sin2A+

1

2

•

1-cos2A

2

=

3

4

sin2A-

1

4

cos2A+

1

4

=

1

2

（2A-30°）+

1

4

=

3

4

，
∴sin（2A-30°）=1，又0°＜∠A＜120°
∴∠A=60°．
∴△ABC是等边三角形；

点评：本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．