Question

5．设（x+1）⁵+（x-2）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸=b₀+b₁（x-1）+b₂（x-1）²+…+b₈（x-1）⁸．求下列各式的值：
（1）a₀+a₂+a₄+a₆+a₈；
（2）b₄+b₆；
（3）a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈．

Answer 1

分析 （1）令x=1，x=-1，两式相加可得a₀+a₂+a₄+a₆+a₈；
（2）由（x+1）⁵+（x-2）⁸=b₀+b₁（x-1）+b₂（x-1）²+…+b₈（x-1）⁸，可得（x+2）⁵+（x-1）⁸=b₀+b₁x+b₂x²+…+b₈x⁸．即可求b₄+b₆；
（3）求导数可得5（x+1）⁴+8（x-2）⁷=a₁x+2a₂x+…+8a₈x⁷，即可求出a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈．

解答 解：（1）由（x+1）⁵+（x-2）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸，
令x=1，可得2⁵+（-1）⁸=a₀+a₁+a₂²+…+a₈⁸，
令x=-1，可得0⁵+（-3）⁸=a₀-a₁+a₂²+…+a₈⁸，
两式相加可得a₀+a₂+a₄+a₆+a₈=3297；
（2）由（x+1）⁵+（x-2）⁸=b₀+b₁（x-1）+b₂（x-1）²+…+b₈（x-1）⁸．
可得（x+2）⁵+（x-1）⁸=b₀+b₁x+b₂x²+…+b₈x⁸．
∴b₄+b₆=${C}_{5}^{1}•{2}^{4}$+${C}_{8}^{4}$=80+70=150；
（3）由（x+1）⁵+（x-2）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸，
求导数可得5（x+1）⁴+8（x-2）⁷=a₁x+2a₂x+…+8a₈x⁷，
令x=1，可得a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈=80-8=72，
令x=0，可得a₀=2，
∴a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈=74．

点评 本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于中档题．