Question

（本小题满分12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，
请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间
少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）以600名新生中有72名学生可以申请住宿.
（Ⅲ）的分布列为：

	0	1	2	3	4

.（或）
所以的数学期望为1.

本试题主要是考查了直方图的运用，求解频率和古典概型概率的计算、分布列和期望值的综合运用。
（1）由直方图可得：.
所以 .
（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：，  …4分
因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿
（3）因为由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，
和随机变量的各个取值，得到分布列和期望值。
解：（Ⅰ）由直方图可得：.
所以 .                    ………………………………………2分
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：，  …4分
因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. …5分
（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3，4.        ………………………………………6分
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，
,       ,
,,
.  ………………………10分
所以的分布列为：

	0	1	2	3	4

.（或）
所以的数学期望为1.                 ………………………………………12分