Question

函数f（n）=

n2+a

n

（n∈N*）为增函数，则a的范围为

（-∞，2）

．

Answer 1

分析：考虑到函数的定义域为正整数，所以函数为增函数即f（n+1）-f（n）＞0，在正整数范围内总能成立，由此将这个差变形得到a＜n（n+1）对任意的n∈N^*成立，从而得出实数a的范围．

解答：解：函数f（n）=

n2+a

n

的定义域为N^*，说明对任意的n∈N^*
f（n+1）-f（n）＞0，总能成立，
所以

(n+1)2+a

n+1

-

n2+a

n

＞0对任意的n∈N^*成立
得到：1＞a(

1

n

-

1

n+1

)
∵

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

＞0
∴a＜n（n+1）对任意的n∈N^*成立
而n（n+1）的最小值是2
故a的范围为a＜2
故答案为：（-∞，2）

点评：本题考查了定义在正整数上的函数单调增的知识点，属于中档题．抓住函数的定义域为正整数，利用作差解决是本题的关键所在．