Question

已知函数f（n）=

-n2，n=2k(k∈z) n2，n=2k-1(k∈z)

，a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+…+a₁₀₀=（　　）

A．0

B．-100

C．100

D．10200

Answer 1

分析：对通项a_n=f（n）+f（n+1）研究发现：当n为奇数时，a_n=n²-（n+1）²=-2n-1，所有的奇数项组成一个首项为-3，公差为-2，项数为50的等差数列；当n为偶数时a_n=-n²+（n+1）²=2n+1，故所有的偶数项组成一个首项为5，公差为2，项数为50的等差数列，将奇数项与偶数项分别求和，然后再相加求数列前100项的和．

解答：解：由题意可知a₁=f（1）+f（2）=1-2²=-3；
a₂=f（2）+f（3）=-2²+3²=5；
a₃=f（3）+f（4）=3²-4²=-7，
由上可猜想：
当n为奇数时，a_n=n²-（n+1）²=-2n-1，
当n为偶数时a_n=-n²+（n+1）²=2n+1，
故所有的奇数项组成一个首项为-3，公差为-2，项数为50的等差数列；
所有的偶数项组成一个首项为5，公差为2，项数为50的等差数列．
由等差数列的前n项和公式Sn=（a₁-

d

2

）×n+

d

2

n²
得S_奇=（-3+1）×50-50²=-2600；
S_偶=（5-1）×50+50²=2700
所以S₁₀₀=S_偶+S_奇=2700-2600=100
故选C．

点评：本题是技巧型与能力型题，需要对数列形式进行研究，根据数列的特征来选择解题的方法，这是本题的特点．