Question

【题目】已知函数

（1）若函数在点处的切线方程为，求的值；

（2）若，函数在区间内有唯一零点，求的取值范围；

（3）若对任意的，均有，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）.

【解析】

试题本题考查导数的运算，利用导数求切线方程、判断函数的单调性、求函数的最值等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.（1）先求导，将切点的横坐标代入到导数中，得到切线的斜率，结合已知切线的斜率可求出的值，再由切点在切线上，可求出即切点的纵坐标，然后代入的解析式即可求出的值；（2）先将代入得到解析式，求导数，判断函数的单调性，因为在有唯一的零点，所以或，所以解得或；（3）属于恒成立问题，通过分析题意，可以转化为在上的最大值与最小值之差，因为，所以讨论的正负来判断的正负，当时，为单调递增函数，所以，当时，需列表判断函数的单调性和极值来决定最值的位置，这种情况中还需要讨论与1的大小.

试题解析：(1)，所以，得

又，所以，得

（2）因为所以，

当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增

又，可知在区间内有唯一零点等价于

或

得或

(3)若对任意的，均有，等价于在上的最大值与最小值之差

（ⅰ）当时，在上，在上单调递增

由，得

所以

（ⅱ）当时，由得

由得或

所以，同理

当，即时，，与题设矛盾

当，即时，恒成立

当，即时，恒成立

综上所述，的取值范围为.