Question

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2]是增函数，g(x)=x-a

x

在（0，1）为减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）当b＞-1时，若f(x)≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=2x-

a

x

，依题意f'（x）≥0，?x∈（1，2]恒成立，故a≤2．由g′(x)=1-

a

2 x

，依题意a≥2

x

，?x∈（0，1）恒成立．故a≥2．所以a=2．由此能求出f（x）、g（x）的表达式．
（Ⅱ）由f（x）=g（x）+2知，方程x2-2lnx-x+2

x

-2=0．设h(x)=x2-2lnx-x+2

x

-2(x＞0)，
则h′(x)=2x-

2

x

-1+

1

x

=

( x -1)[(2x+1) x +2(x+1)]

x

，令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．列表分析知h（x）在x=1处有一个最小值0，由此能够证明当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．
（Ⅲ）法一：
f(x)≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]恒成立等价于x²-2lnx≥2bx-

1

x2

，在x∈（0，1]内恒成立等价于2b≤x+

1

x3

-

2lnx

x

在x∈（0，1]内恒成立．由此能求出b的取值范围．
法二：
设φ(x)=x2-2lnx-2bx+

1

x2

，则x∈（0，1]时，φ′(x)=2x-

2

x

-2b-

2

x3

=2•

x4-x2-1

x3

-2b=2•

(x2- 1 2 )2- 5 4

x3

-2b≤-2(b+1)＜0，由此能求出b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2x-

a

x

，
依题意f'（x）≥0，?x∈（1，2]恒成立，
即a≤2x²，?x∈（1，2]恒成立．
∴a≤2①…（2分）
又g′(x)=1-

a

2 x

，依题意恒成立g'（x）≤0，?x∈（0，1），
即a≥2

x

，?x∈（0，1）恒成立．
∴a≥2．②…（4分）
由①②得a=2．
∴f(x)=x2-2lnx，g(x)=x-2

x

．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）=g（x）+2知，
方程x2-2lnx-x+2

x

-2=0，
设h(x)=x2-2lnx-x+2

x

-2(x＞0)，
则h′(x)=2x-

2

x

-1+

1

x

=

( x -1)[(2x+1) x +2(x+1)]

x

，…（7分）
令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．
列表分析：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	递减	0	递增

知h（x）在x=1处有一个最小值0，…（9分）
∴当x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上只有一个解．
即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．        …（11分）
（Ⅲ）解法一：∵f(x)≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]恒成立，
∴x²-2lnx≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]内恒成立，
∴2b≤x+

1

x3

-

2lnx

x

在在x∈（0，1]内恒成立…③…（13分）
令m(x)=x+

1

x3

-

2lnx

x

（x∈（0，1]），
则m′(x)=1-

3

x4

-

2(1-lnx)

x2

=

x4-3-2x2+2x2lnx

x4

=

(x2-3)(x2+1)+2x2lnx

x4

∴x∈（0，1]时，m'（x）＜0，
∴m（x）在（0，1]是减函数，
∴[m（x）]_min=m（1）=2
由③知2b≤[m（x）]_min=2，
∴b≤1…（15分）
又b＞-1，所以：-1＜b≤1为所求范围．…（16分）
解法二：设φ(x)=x2-2lnx-2bx+

1

x2

，
则x∈（0，1]时，φ′(x)=2x-

2

x

-2b-

2

x3

=2•

x4-x2-1

x3

-2b（13分）
=2•

(x2- 1 2 )2- 5 4

x3

-2b≤-2(b+1)＜0…（15分）
∴φ（x）在（0，1]为减函数，
∴φ（x）_min=φ（1）=1-2b+1≥0，
∴b≤1
又b＞-1，所以：-1＜b≤1为所求范围．…（16分）

点评：本题考查导数在求函数最大值、最小值中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．