Question

函数f（x）=x+

1

x

，g（x）=x，已知A₀（x，0），（x₀＞0），如图，过A₀作平行于y轴的直线交y=g（x）的图象于A₁，交y=f（x）的图象于P₁，要过P₁作平行于x轴的直线交y=g（x）于A₂，再过A₂作平行于y轴的直线交y=f（x）于P₂，…，这样一直作下去；设△A₁P₁A₂的面积为S₁，…，△A_kP_kA_k+1的面积为S_k，数列{S_n}的前n项和为T_n，并设P_n（x_n，y_n）．
（1）求S₁，S₂；
（2）求证：y_n²=2T_n+2n+x₀²；
（3）若x₀=5，求证：45＜y₁₀₀₀＜45.1．

Answer 1

分析：（1）显然△A₁P₁A₂为等腰直角三角形，从而有S1=

|P1A1|2

2

=

(x0+ 1 x0 -x0)2

2

=

1

2 x 2 0

，S2=

|P2A2|2

2

=

(y2-y1)2

2

=

(y1+ 1 y1 -y1)2

2

=

1

2 y 2 1

（2）由图可知A_n（y_n-1，y_n-1），，进而可得Sn=

|PnAn|2

2

=

(yn-yn-1)2

2

=

(yn-1+ 1 yn-1 -yn-1)2

2

=

1

2 y 2 n-1

由

y

2 n

=

y

2 n-1

+

1

y 2 n-1

+2得

y

2 n

-

y

2 n-1

=

1

y 2 n-1

+2，

y

2 n-1

-

y

2 n-2

=

1

y 2 n-2

+2，从而可证y_n²=2T_n+2n+x₀²；
（3）由（2）

y

2 1000

 =2 

T

2 1000

 +2×1000+25＞2025＞45²，

y

2 100

=2

T

2 100

+2×100+25＞225

y

2 1000

 =2

T

2 1000

 +2×1000+25＜2025+

1

x 2 0

+

1

x 2 0

+

1

y 2 100

+…+

1

y 2 100

=2025+100×

1

25

+900×

1

225

=2033＜45.12，故可得证．

解答：（1）解：显然△A₁P₁A₂为等腰直角三角形
S1=

|P1A1|2

2

=

(x0+ 1 x0 -x0)2

2

=

1

2 x 2 0

同理S2=

|P2A2|2

2

=

(y2-y1)2

2

=

(y1+ 1 y1 -y1)2

2

=

1

2 y 2 1

（2）证明：由图可知A_n（y_n-1，y_n-1），∴yn=yn-1+

1

yn-1

Sn=

|PnAn|2

2

=

(yn-yn-1)2

2

=

(yn-1+ 1 yn-1 -yn-1)2

2

=

1

2 y 2 n-1

由

y

2 n

=

y

2 n-1

+

1

y 2 n-1

+2得

y

2 n

-

y

2 n-1

=

1

y 2 n-1

+2，

y

2 n-1

-

y

2 n-2

=

1

y 2 n-2

+2
∴

y

2 1

-

x

2 0

=

1

x 2 0

+2
∴

y

2 n

-

x

2 0

=

1

x 2 0

+

1

y 2 1

+…+

1

y 2 n-1

+2n=2Tn+2n
∴y_n²=2T_n+2n+x₀²；
（3）证明：由（2）

y

2 1000

 =2 

T

2 1000

 +2×1000+25＞2025＞45²

y

2 100

=2

T

2 100

+2×100+25＞225
∵yn=yn-1+

1

yn-1

∴

y

2 1000

 =2

T

2 1000

 +2×1000+25=2025+

1

x 2 0

+

1

y 2 1

+…+

1

y 2 999

＜2025+

1

x 2 0

+

1

x 2 0

+

1

y 2 100

+…+

1

y 2 100

=2025+100×

1

25

+900×

1

225

=2033＜45.12
∴45＜y₁₀₀₀＜45.1．

点评：本题的考点是数列与不等式的综合，考查数列{S_n}的前n项和，考查放缩法证明不等式，难度较大．