Question

已知函数．
（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；
（2）当函数f（x）为奇函数时，求a的值；
（3）当函数f（x）为奇函数时，求函数f（x）在[-1，2]上的值域．

Answer 1

解：（1）证明：任取x₁＜x₂∈R则==．
∵x₁＜x₂ ，，故f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函数f（x）在R上为增函数．
（2）因函数f（x）在x=0 有意义，又函数f（x）为奇函数，则f（0）=0
即，
当a=时，f（-x）=-f（x），函数是奇函数．
∴a的值为
（3）根据①函数是增函数，x∈[-1，2]时，f（-1）≤f（x）≤f（2），
∵f（-1）=-，f（2）=
∴函数的值域是[-，]
分析：（1）根据增函数的定义证明即可；
（2）利用奇函数的性质f（0）=0，求得a，再验证函数在定义域上是奇函数．
（3）利用（1）得出是增函数的结论，求解即可．
点评：本题考查函数的单调性、奇偶性及函数的值域．