Question

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）试判断当a，b为何值时，函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）当a=-

10

3

，b=0时，求函数f（x）在R上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用偶函数的定义，得到f（-x）=f（x），从而确定a，b．
（Ⅱ）利用函数的最值和导数的关系求出函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）要使函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R）为偶函数，则f（-x）=f（x），
即x⁴-ax³+2x²+b=x⁴+ax³+2x²+b，解得a=0，b∈R时，函数为偶函数．                   …（5分）
（Ⅱ）f'（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．     …（6分）
当a=-

10

3

时，f'（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）． …（7分）
令f'（x）=0，解得x₁=0，x2=

1

2

，x₃=2．  …（8分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，2)	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

∵f(0)=0，f(2)=-

8

3

∴当x=2时取得最小值-

8

3

…（14分）

点评：本题考查了函数奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的最值问题，综合性较强．