Question

已知函数f（x）=x³-2mx²+m²x，“m=1”是“当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：充分性，当m=1，f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），利用导数与极值间的关系可证得“当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值”，即充分性成立；
必要性，当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值，通过对m分m＜0与m＞0的讨论，利用导数与极值间的关系最终推出m=1，即必要性成立，从而选得答案．

解答：解：∵f（x）=x³-2mx²+m²x，若m=1，
∴f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
由f′（x）＞0得，x＞1或x＜

1

3

，
由f′（x）＜0得，

1

3

＜x＜1，
∴x=

1

3

的左侧导数大于0，右侧导数小于0，
∴当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值；
即m=1，是当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值的充分条件；
反之，当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值，看看能否推出m=1．
∵f′（x）=3x²-4mx+m²=（x-m）（3x-m），
∴由f′（x）=0得x=m或x=

m

3

．
当m＜0，由f′（x）＞0得，x＞

m

3

或x＜m，
由f′（x）＜0得，m＜x＜

m

3

，
∴当x=m时，函数f（x）取得极大值；又当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值，
∴m=

1

3

与m＜0矛盾；
当m＞0时，同理可得，当x=

m

3

，函数f（x）取得极大值；又当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值，
∴

m

3

=

1

3

，
∴m=1．即当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值，能推出m=1．
∴即m=1是当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值的必要条件；
综上所述，，“m=1”是“当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值”的充要条件．
故选C．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，着重考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，“m=1”是“当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值”的必要条件的分析是难点，属于难题．