Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣2sinx．
（Ⅰ）求函数f（x）在 上的最值；
（Ⅱ）若存在 ，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=1﹣2cosx，

x
y'		+	0	﹣	0	+
y		↗	极大值	↘	极小值	↗

（Ⅱ）f（x）＜ax，
∴2sinx﹣（1﹣a）x＞0
设g（x）=2sinx﹣（1﹣a）x，则g'（x）=2cosx﹣（1﹣a）
由
①1﹣a≥2即a≤﹣1，此时g'（x）＜0得出g（x）在 单调递减，g（x）＜g（0）=0不成立
②1﹣a≤0即a≥1，此时g'（x）＞0得出g（x）在 单调递增，g（x）＞g（0）=0成立
③0＜1﹣a＜2即﹣1＜a＜1，令 ，存在唯一 ，使得 ．当x∈（0，x0）时，g'（x）＞0得出g（x）＞g（0）=0，
∴存在 ，有g（x）＞0成立
综上可知：a＞﹣1
【解析】（1）求出导函数，得出极值点，根据极值点求闭区间函数的最值；（2）不等式整理得出2sinx﹣（1﹣a）x＞0，构造函数，根据导函数进行分类讨论，即最大值大于零即可．