Question

设函数（1）当时，求的最大值；（2）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer 1

（1）的极大值为，此即为最大值；（2）≥；（3）．

试题分析：（1）依题意，知的定义域为（0，+∞），当时，，
（2′）令=0，  解得．（∵）
因为当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。所以的极大值为，此即为最大值          4分
（2），，则有≤，在上恒成立，
所以≥，（8′）当时，取得最大值，所以≥          8分
（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则．令，．
因为，，所以（舍去），，
当时，，在（0，）上单调递减，当时，，在（，+∞）单调递增   当时，=0，取最小值 则既所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程（*）的解为，即，解得．         12分
点评：典型题，切线的斜率，等于在切点的导函数值。利用导数研究函数的极值，一般遵循“求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值”，利用“表解法”，清晰易懂。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，通过研究函数的最值确定参数的范围。