Question

已知数列｛a_n｝的前n项和S_n与通项a_n之间满足a₁=1，S_n=n²a_n，求a_n.

   

Answer 1

思路分析：本题除给出初始条件a₁=1之外，还给了前n项和S_n与通项a_n之间的关系式S_n=n²a_n.为求a_n，需考虑使用公式a_n=S_n-S_n-1，从而把S_n与S_n-1之间的关系转化为a_n与a_n-1之间的递推关系.

    解：当n≥2时，

    S_n-S_n-1=n²a_n-(n-1)²a_n-1=a_n，

     (n²-1)a_n=(n-1)²a_n-1，

     (n+1)a_n=(n-1)a_n-1，

    ∴=.

    ∴···…···=···…···，==.

    又由S₂=a₁+a₂=2²·a₂3a₂=a₁，a₂=，

    ∴a_n=(n≥2).此通项公式对n=1也成立.

    ∴a_n=.