Question

已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，（1）若m=-2，求y=f（x）在（2，-3）处的切线方程；（2）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）m=-2时，f（x）=-2x³+3x²+1，故f′（x）=-6x²+6x，由此能求出y=f（x）在（2，-3）处的切线方程．
（2）由f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，知f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6，由f′（x）＞3m，知mx²-2（m+1）x+2＞0．由m＜0，知x2-

2

m

(m+1)x+

2

m

＜0，x∈[-1，1]，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（1）m=-2时，f（x）=-2x³+3x²+1，
∴f′（x）=-6x²+6x，
∴y=f（x）在（2，-3）处的切线方程的斜率k=f′（2）=-12，
y=f（x）在（2，-3）处的切线方程为y+3=-12（x-2），
即12x+y-21=0．…5分
（2）∵f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，
∴f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6，
∵当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，
∴f′（x）＞3m，即mx²-2（m+1）x+2＞0．…6分
又m＜0
所以x2-

2

m

(m+1)x+

2

m

＜0
即x2-

2

m

(m+1)x+

2

m

＜0，x∈[-1，1]
①设g(x)=x2-2(1+

1

m

)x+

2

m

，
其函数开口向上，由题意知①式恒成立，…8分
所以

g(-1)＜0 g(1)＜0

⇒

1+2+ 2 m + 2 m ＜0 -1＜0

，
解之得-

4

3

＜m，又m＜0，…11分
所以-

4

3

＜m＜0，
即m的取值范围为(-

4

3

，0)．…12分

点评：本题考查函数的切线方程的求法，考查满足条件的实数的求取范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．