Question

已知函数f（x）=lnx-ax+-1（a∈R）．
（1）当a=-1时，求函数的单调区间；
（2）当0≤a＜时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函数的定义域，然后利用导数求函数的单调区间．
（2）求函数的导数，通过讨论a的取值，确定函数f（x）的单调性．
解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），当a=-1时，，
由f'（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增．
由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞），单调递减区间为（0，1]．
（2）因为f（x）=lnx-ax+-1（a∈R）．
所以，
令g（x）=ax²-x+1-a，（x＞0），
①若a=0，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．
②若0时，由f'（x）=0，解得，
此时，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
当x∈（1，）时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．
当x∈（，+∞）时，g（x）＞0，此时f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
综上所述，当a=0时，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．
当0时，函数f（x）单调递减区间是（0，1）和[），单调增区间是[1，]．
点评：本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，运算量较大，综合性较强．