题目内容
设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使| OA |
| OB |
| OC |
| OH |
求证：（1）H是△ABC的垂心；
（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
分析：（1）根据△ABC外心为O满足|
|=|
|=|
|，我们根据已知中
+
+
=
，易判断出
•
=0，即AH⊥BC，同理证出BH⊥AC，CH⊥AB后，即可得到H是△ABC的垂心；
（2）根据△ABC重心为G满足
+
+
=
，结合已知中
+
+
=
，我们易判断出
=3
，根据数乘向量的几何意义，即可得到O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
| OH |
| AH |
| BC |
（2）根据△ABC重心为G满足
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| OA |
| OB |
| OC |
| OH |
| OH |
| OG |
解答：证明：（1）∵△ABC外心为O，
∴|
|=|
|=|
|
又∵
+
+
=
∴
-
=
=-(
+
)
则
•
=-(
+
)•(
-
)=
2-
2=0
即AH⊥BC
同理BH⊥AC，CH⊥AB
即H是△ABC的垂心；
（2）∵G为△ABC的重心
∴
+
+
=(
+
)+(
+
)+(
+
)=3
+
+
+
=3
+
=
即
=3
即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2
∴|
| OA |
| OB |
| OC |
又∵
| OA |
| OB |
| OC |
| OH |
∴
| OA |
| OH |
| AH |
| OB |
| OC |
则
| AH |
| BC |
| OB |
| OC |
| OC |
| OB |
| OB |
| OC |
即AH⊥BC
同理BH⊥AC，CH⊥AB
即H是△ABC的垂心；
（2）∵G为△ABC的重心
∴
| GA |
| GB |
| GC |
| GO |
| OA |
| GO |
| OB |
| GO |
| OC |
| GO |
| OA |
| OB |
| OC |
| GO |
| OH |
| 0 |
即
| OH |
| OG |
即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2
点评：本题考查的知识点是三角形的五心，其中熟练掌握向量五心的向量表达式形式，如（1）中△ABC外心为O满足|
|=|
|=|
|，（2）中△ABC重心为G满足
+
+
=
，是解答此类问题的关键．
| OA |
| OB |
| OC |
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
练习册系列答案
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设△ABC的外心为O，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使
设△ABC的外心为O（三角形外接圆的圆心），其外接圆半径为1，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．若
．