题目内容
设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使| OH |
| OA |
| OB |
| OC |
（Ⅰ）点H为△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一条直线上．
分析：（Ⅰ）根据O为△ABC的外心，可得|
|=|
|=|
|，利用向量的加减法，向量的数量积，可证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，从而问题得证；
（Ⅱ）延长AG交BC于D，则D为BC中点，根据G为△ABC之重心，证明
=3
，即可得O，G，H三点共线．
| OA |
| OB |
| OC |
（Ⅱ）延长AG交BC于D，则D为BC中点，根据G为△ABC之重心，证明
| OH |
| OG |
解答：证明：（Ⅰ）∵O为△ABC的外心，∴|
|=|
|=|
|，
∵
=
+
+
，∴
=
-
=
+
，
∴
•
=(
+
)•(
-
)=|
|2-|
|2=0
∴
⊥
，即AH⊥BC，
同理BH⊥AC，CH⊥AB，
∴H为△ABC的垂心；
（Ⅱ）延长AG交BC于D，则D为BC中点，∴
=
(
+
)，
∵G为△ABC之重心，∴
=
=
(
+
)=
(
+
-2
)
∵
=
+
=
+
(
+
-2
)=
(
+
+
)，
∴
=3
，∴
∥
，
∴O，G，H三点共线．
| OA |
| OB |
| OC |
∵
| OH |
| OA |
| OB |
| OC |
| AH |
| OH |
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| AH |
| BC |
| OB |
| OC |
| OC |
| OB |
| OC |
| OB |
∴
| AH |
| BC |
同理BH⊥AC，CH⊥AB，
∴H为△ABC的垂心；
（Ⅱ）延长AG交BC于D，则D为BC中点，∴
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
∵G为△ABC之重心，∴
| AG |
| 2 |
| 3 |
| AD |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| OC |
| OA |
∵
| OG |
| OA |
| AG |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| OC |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| OH |
| OG |
| OH |
| OG |
∴O，G，H三点共线．
点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的数量积，考查向量共线，属于中档题．
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设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使
．求证：
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