题目内容
【题目】一个圆锥的体积为
，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】D
【解析】
首先设圆锥的底面半径为
，高为
，从而求得圆锥的母线长为
，利用圆锥的体积公式以及题中的条件，得到
，将圆锥的侧面积表示出来
，之后设
，利用导数求得当
，取得最小值，从而求得圆锥的侧面积取得最小值时，此时
，进而求得圆锥的母线与底面所成角的正切值为
，从而求得结果.
设圆锥的底面半径为，高为，
所以圆锥的母线长为，
所以圆锥的体积为
，
所以，
因为圆锥的侧面积
，
设，
所以
，
所以当
时，
，
，
此时单调递增，
当
时，
，
，
此时单调递减，
所以当，取得最小值，
即圆锥的侧面积取得最小值，
所以
，
所以圆锥的母线与底面所成角的正切值为，
故选D.
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