Question

4．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-3x-1，求函数的导数，判断函数的单调性 即可得到结论．

解答 解：设t=lnx，
则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1，
设g（x）=f（x）-3x-1，
则g′（x）=f′（x）-3，
∵f（x）的导函数f′（x）＜3，
∴g′（x）=f′（x）-3＜0，此时函数单调递减，
∵f（1）=4，
∴g（1）=f（1）-3-1=0，
则当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，
即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）-3x-1＜0，
即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，
即f（t）＞3t+1的解为t＜1，
由lnx＜1，解得0＜x＜e，
即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e），
故答案为：（0，e）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．