Question

7．已知不等式|x-3|+|x-4|＜a
（1）当a=2时，解此不等式；
（2）若|x-3|+|x-4|＜a解集为∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先分类讨论，根据x的范围先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．
（2）作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，从而求出a的范围．

解答 解：（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2
当x＜3时，原不等式化为7-2x＜2，解得x＞$\frac{5}{2}$，∴$\frac{5}{2}$＜x＜3，
当3≤x≤4时，原不等式化为1＜2，∴3≤x≤4
当x＞4时，原不等式化为2x-7＜2，解得x＜$\frac{9}{2}$，∴4＜x＜$\frac{9}{2}$；
综上，原不等式解集为{x|$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{9}{2}$}；（5分）
（2）法一、作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，
如图所示：

若使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，
或y=a与y=1重合，∴a≤1
所以，a的范围为（-∞，1]，（10分）
法二、：y=|x-3|+|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-7，x≥4}\\{1，3≤x≤4}\\{7-2x，x＜3}\end{array}\right.$，
当x≥4时，y≥1
当3≤x＜4时，y=1
当x＜3时，y＞1
综上y≥1，原问题等价为a≤[|x-3|+|x-4|]_min
∴a≤1（10分）
法三、：∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
当且仅当（x-3）（x-4）≤0时，上式取等号
∴a≤1．

点评 此题考查绝对值不等式的解法，运用了分类讨论的思想，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．