Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两相邻对称轴间的距离为

π

2

，且图象的一个最低点为(

2π

3

，-

1

2

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间与对称轴；
（3）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两相邻对称轴间的距离为

π

2

，我们可以确定函数的周期，进而求出ω值，再根据图象的一个最低点为(

2π

3

，-

1

2

)，可以结合A＞0，0＜φ＜π求出A值及φ值，进而得到f（x）的解析式；
（2）根据（1）中正弦型函数的解析式，结合正弦型函数的单调性，我们可以构造一个关于x的不等式2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

，解不等式求出x的范围，即可得到函数f（x）的单调增区间，根据正弦函数的对称性，可以得到函数的对称轴方程．
（3）根据（2）结论，我们易判断函数f（x）在x∈[-

π

6

，

π

3

]时的单调性，进而得到函数f（x）的值域．

解答：解：（1）由题意知A=

1

2

，T=2×

π

2

=π⇒ω=2
又图象有一个最低点(

2π

3

，-

1

2

)，
∴2•

2π

3

+φ=2kπ+

3π

2

⇒φ=2kπ+

π

6

而0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

，
故f(x)=

1

2

sin(2x+

π

6

)；
（2）2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

；
2x+

π

6

=kπ+

π

2

⇒x=

kπ

2

+

π

6

∴f（x）的增区间是(k-

π

3

，kπ+

π

6

)k∈Z，
对称轴为x=

kπ

2

+

π

6

k∈Z；
（3）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴f(x)∈[-

1

4

，

1

2

]．

点评：本题考查的知识点是正弦型函数的解析式的求法，正弦型函数的值域，正弦型函数的单调性，正弦型函数的对称性，其中根据已知条件求出函数的解析式是解答本题的关键．