Question

已知函数f(x)＝ax2＋1，g(x)＝x3＋bx，其中a>0，b>0.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x) 在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P为切点)，求实数a，b的值；

(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)的单调减区间为.

①求函数h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值M(a)；

②若|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

（1）a＝，b＝5

（2）①M(a)＝

②

【解析】【解析】
(1)由P(2，c)为公共切点，

f(x)＝ax2＋1，g(x)＝x3＋bx(a>0)，

得f′(x)＝2ax，k1＝4a，

g′(x)＝3x2＋b，k2＝12＋b.

又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，

所以，解得a＝，b＝5.

(2)①h(x)＝f(x)＋g(x)

＝x3＋ax2＋bx＋1，

则h′(x)＝3x2＋2ax＋b.

因为函数f(x)＋g(x)的单调减区间为，

所以x∈时，有3x2＋2ax＋b≤0恒成立．

此时x＝－是方程3x2＋2ax＋b＝0的一个根，

所以32＋2a＋b＝0，

得a2＝4b，

所以h(x)＝f(x)＋g(x)

＝x3＋ax2＋a2x＋1.

又函数h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

若－1≤－，即a≤2时，

最大值为h(－1)＝a－；

若－<－1<－时，即2<a<6时，

最大值为h＝1；

若－1≥－时，即a≥6时，

最大值为h＝1，

综上所述，M(a)＝

②由①可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

所以h为极大值，h＝1，

h为极小值，h＝－＋1，

因为|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，

又h(0)＝1，所以

即

解得

故实数a的取值范围是.