Question

已知{a_n}是等比数列，a2=2，a5=

1

4

，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N₊）的值范围是

[8，

32

3

）

．

Answer 1

分析：由已知可判数列{a_na_n+1}是以8为首项，

1

4

为公比的等比数列，求和之后由不等式的性质可得其范围．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，则

1

4

=2•q³，
解得q=

1

2

，∴a₁=4，a_n=4•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-3，
∴a_na_n+1=(

1

2

)n-3•(

1

2

)n-2=(

1

2

)2n-5，
∴a₁a₂=8，

anan+1

an-1an

=

1

4

∴数列{a_na_n+1}是以8为首项，

1

4

为公比的等比数列，
由等比数列的求和公式可得a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

8(1- 1 4n )

1- 1 4

=

32

3

(1-

1

4n

)，
∵0＜

1

4n

≤

1

4

，∴

3

4

≤1-

1

4n

＜1，∴8≤

32

3

(1-

1

4n

)＜

32

3

，
故所求式子的范围为：[8，

32

3

）
故答案为：[8，

32

3

）

点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的判定，属中档题．