Question

已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线C上.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△的面积为求直线的方程.

Answer 1

(Ⅰ)解法1：依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为

将点代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，

故所求双曲线方程为

解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.

，

∴

∴双曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得，，于是

=

而原点O到直线的距离,

若，即,解得

满足②.故满足条件的直线有两条，其方程分别为和

解法2：依题意，可设直线的方程为,代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                                         ①

∵直线与比曲线C相交于不同的两点E、F，

                                           ②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得

.     ③

当E、F在同一支上时（如图1所示），

；

当E、F在不同支上时（如图2所示），

综上得，于是

由及③式，得.

若，即,解得,满足②.故满足条件的直线有两条，基方程分别为和