Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²+y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值。
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设P（x₀，y₀）（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D，证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值。

Answer 1

解：（1）设M 的坐标为，由已知得，
上的点位于直线的右侧
于是，
所以
的方程为。
（2）当点P 在直线上运动时，P的坐标为，
又，则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，
每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
于是
①
的斜率分别为，
则是方程①的两个实根，故 ②
由得     ③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，
所以  ④
     ⑤
②，④，⑤三式得
=6400
当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400。