题目内容
（2012•许昌三模）已知点A（-2，0），B（2，0）直线PA与直线PB斜率之积为-
，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线c的方程；
（Ⅱ）设M，N是曲线C上任意两点，且|
-
|=|
+
|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
| 3 |
| 4 |
（Ⅰ）求曲线c的方程；
（Ⅱ）设M，N是曲线C上任意两点，且|
| OM |
| ON |
| OM |
| ON |
分析：（Ⅰ）设P（x，y），则由直线PA与直线PB斜率之积为-
，建立等式，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）若|
-
|=|
+
|，则
⊥
．分斜率存在与不存在，结合椭圆的方程，利用韦达定理，可得原点O到直线MN的距离恒为d=
，从而存在以原点为圆心且与MN总相切的圆．
| 3 |
| 4 |
（Ⅱ）若|
| OM |
| ON |
| OM |
| ON |
| OM |
| ON |
|
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则由直线PA与直线PB斜率之积为-
，得
×
=-
(x≠±2)．
整理得曲线C的方程为
+
=1(x≠±2)．----（4分）
（Ⅱ）若|
-
|=|
+
|，则
⊥
．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
若直线MN斜率不存在，则N（x1，-y1）．
由
⊥
得
×
=-1，又
+
=1，∴x1=±
，
∴直线MN方程为x=±
．
∴原点O到直线MN的距离d=
．----（6分）
若直线MN斜率存在，设方程为y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴x1+x2=
，x1x2=
．（*）----（8分）
由
⊥
得
×
=-1，整理得（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．
（*）式代入：（k2+1）×
+km×
+m2=0
解得7m2=12（k2+1）．----（10分）
此时原点O到直线MN的距离d=
=
．
故原点O到直线MN的距离恒为d=
．
∴存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2+y2=
．----（12分）
| 3 |
| 4 |
| y |
| x+2 |
| y |
| x-2 |
| 3 |
| 4 |
整理得曲线C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）若|
| OM |
| ON |
| OM |
| ON |
| OM |
| ON |
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
若直线MN斜率不存在，则N（x1，-y1）．
由
| OM |
| ON |
| y1 |
| x1 |
| -y1 |
| x1 |
| x12 |
| 4 |
| y12 |
| 3 |
|
∴直线MN方程为x=±
|
∴原点O到直线MN的距离d=
|
若直线MN斜率存在，设方程为y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴x1+x2=
| -8km |
| 4k2+3 |
| 4m2-12 |
| 4k2+3 |
由
| OM |
| ON |
| y1 |
| x1 |
| y2 |
| x2 |
（*）式代入：（k2+1）×
| 4m2-12 |
| 4k2+3 |
| -8km |
| 4k2+3 |
解得7m2=12（k2+1）．----（10分）
此时原点O到直线MN的距离d=
| |m| | ||
|
|
故原点O到直线MN的距离恒为d=
|
∴存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2+y2=
| 12 |
| 7 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．
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