题目内容

已知函数f（2^x）=x²-2ax+3
（1）求函数y=f（x）的解析式
（2）若函数y=f（x）在[ $数学公式$ ，8]上的最小值为-1，求a的值．

解：（1）设t=2^x，则t＞0，且x= $\text{[math]}$ 代入解析式得，
∴ $\text{[math]}$ ，t＞0，
则 $\text{[math]}$ ，
（2）由 $\text{[math]}$ ≤x≤8得，-1≤ $\text{[math]}$ ≤3，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +3-a²
①当a≤-1时，即 $\text{[math]}$ =-1，f（x）的最小值是1+2a+3=-1，
解得a= $\text{[math]}$ ，符合题意；
②当-1＜a＜3时，即 $\text{[math]}$ =a时，f（x）的最小值是3-a²=-1，
解得a=2或-2（舍去），则a=2；
③当a≥3时，即 $\text{[math]}$ =3时，f（x）的最小值是9-6a+3=-1，
解得a= $\text{[math]}$ ＜3，舍去，
综上得，a的值为： $\text{[math]}$ 或2．
分析：（1）根据题意设t=2^x，求出t的范围和x，代入解析式，再把t换为x，求出f（x）的解析式；
（2）由x的范围求出 $\text{[math]}$ 的范围，把 $\text{[math]}$ 作为一个整体对f（x）配方，根据区间和对称轴分类讨论，由二次函数的性质求出最小值，列出方程求出a的值．
点评：本题考查了对数的运算，二次函数的性质，以及换元法求函数的解析式、最值问题，注意换元后需要求出未知数的范围，分类讨论思想的应用，属于中档题．