Question

己知多面体ABCDE中，DE⊥平面ACD，AB∥DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，O为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明AO⊥CD，AO⊥DE，利用线面垂直的判定定理，可得AO⊥平面CDE；
（Ⅱ）取CE中点F，连接BF，DF，证明DF⊥平面CBE，可得∠DBF就是求直线BD与平面CBE所成角，从而可得其正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵AC=AD，O为CD的中点，
∴AO⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，AO?平面ACD，
∴AO⊥DE，
∵CD∩DE=D，
∴AO⊥平面CDE；
（Ⅱ）解：取CE中点F，连接BF，DF，则AB∥DE且AB=

1

2

DE，
在△CDE中，OF∥DE且OF=

1

2

DE，
∴AB∥OF且AB=OF，
∴四边形ABFO是平行四边形，
∴BF∥AO，
∵AO⊥平面CDE，
∴BF⊥平面CDE，
∴BF⊥DF．
∵CD=DE，
∴DF⊥CE，
∵BF∩CE=F，
∴DF⊥平面CBE，
∴∠DBF就是求直线BD与平面CBE所成角．
在△BDF中，DF=

2

，BD=

5

，
∴sin∠DBF=

10

5

，
∴直线BD与平面CBE所成角的正弦值

10

5

．

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．