Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，侧棱AA₁⊥面ABC，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；

（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）要证明线面平行，则先证明EF∥A₁O，然后利用下面平行的判定定理来得到。

（2）

【解析】

试题分析：（1）证法一：设O为AB的中点，连结A₁O，

∵AF=AB ，O为AB的中点

∴F为AO的中点，又E为AA₁的中点

∴EF∥A₁O

又∵D为A₁B₁的中点，O为AB的中点

∴A₁D=OB 又A₁D∥OB

∴四边形A₁DBO为平行四边形

∴A₁O∥BD 又EF∥A₁O  ∴EF∥BD

又EF平面DBC₁， BD平面DBC₁  ∴EF∥平面DBC₁      （6分）

证法二：建立如图所示的坐标系。（坐标系建立仅为参考）

∵AB=BC=CA=AA₁=2，D、E分别为A₁B₁、AA₁的中点，AF=AB

E（-1，0，1），F，B（1，0，0），D（0，0，2），C₁（0，）

设平面平面DBC₁的法向量为

,,

                

令z=1,则y=0,x=2           

∴    又EF平面BDC₁   ∴EF∥平面BDC₁         （6分）

（2）设面EBC₁的法向量为

，       

令x=1,则z=2，y=-     ∴

cos＜＞=

由图知二面角E－BC₁－D为锐二面角，所以二面角的余弦值为 （12分）

考点：线面平行，和二面角的平面角

点评：主要是考查了熟练的根据几何性质来证明平行性质，以及运用空间向量法求解角，属于中档题。