Question

求与两定圆x²+y²=1，x²+y²-8x-33=0都相切的动圆圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析：设出动圆圆心的坐标，依据内切和外切，动圆圆心到两个定圆的圆心的距离分别等于半径的和与差，来求得结果．

解答：解：（1） 将⊙O₁的x²+y²-8x-33=0方程化为（x-4）²+y²=49，
∴O₁（4，0），r₁=7，设动圆圆心为C（x，y）．
由两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，有：
7-|O₁C|=|OC|-1
即O₁C|+|OC|=8也就是说C点到点O₁、O的距离之和等于8
由椭圆的定义知到C的轨迹是以（0，0）和（4，0）为焦点
长轴长为8的椭圆，a=4，c=2，b²=12
∴动圆圆心C的轨迹方程为

(x-2)2

16

+

y2

12

=1
（2）当动圆C与⊙O₁和⊙O都内切时，由O₁C|+|OC|=6同理可得
动圆圆心C的轨迹方程为

(x-2)2

9

+

y2

5

=1
综上动圆圆心C的轨迹方程为

(x-2)2

16

+

y2

12

=1或

(x-2)2

9

+

y2

5

=1

点评：本题考查两圆的位置关系，考查转化的思想，是中档题．