Question

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（Ⅱ）记直线m≤

x

lnx

的斜率为φ=

x

lnx

，直线m≤φ（x）_min的斜率为φ′(x)=

lnx-1

ln2x

，那么，x∈（1，e）是定值吗？证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由l与圆相切，知m²=1+k²，由

y=kx+m x2-y2=1

，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，故k的取值范围为（-1，1）．由此能求出x₂-x₁取最小值2

2

．
（Ⅱ）由已知可得A₁，A₂的坐标分别为（-1，0），（1，0），所以k1•k2=

y1y2

(x1+1)(x2-1)

=

(kx1+m)(kx2+m)

(x1+1)(x2-1)

=

k2-m2

m2-k2+2-2 2

，由此能求出k1•k2=

-1

3-2 2

=-(3+2

2

)为定值．

解答：解：（Ⅰ）∵l与圆相切，
∴1=

|m|

1+k2

，
∴m²=1+k²①
由

y=kx+m x2-y2=1

，
得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，
∴

1-k2≠0 △=4m2k2+4(1-k2) x1•x2= m2+1 k2-1 ＜0

(m2+1)=4(m2+1-k2)=8＞0，
∴k²＜1，
∴-1＜k＜1，
故k的取值范围为（-1，1）．
由于x1+x2=

2mk

1-k2

∴x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

|1-k2|

=

2 2

1-k2

，
∵0≤k²＜1
∴当k²=0时，x₂-x₁取最小值2

2

．（6分）
（Ⅱ）由已知可得A₁，A₂的坐标分别为（-1，0），（1，0），
∴k1=

y1

x1+1

，k2=

y2

x2-1

，
∴k1•k2=

y1y2

(x1+1)(x2-1)

=

(kx1+m)(kx2+m)

(x1+1)(x2-1)

=

k2x1x2+mk(x1+x2)+m2

x1x2+(x2-x1)-1

=

k2• m2+1 k2-1 -mk• 2mk k2-1 +m2

m2+1 k2-1 - 2 2 k2-1 -1

=

m2k2+k2-2m2k2+m2k2-m2

m2+1-2 2 -k2+1

=

k2-m2

m2-k2+2-2 2

，
由①，得m²-k²=1，
∴k1•k2=

-1

3-2 2

=-(3+2

2

)为定值．（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．