题目内容

已知0＜x＜
1
2
，函数y=x（1-2x）的最大值是
1
8
1
8
．
分析：由基本不等式ab≤（
a+b
2
）2，得2x（1-2x）≤[
2x+(1-2x)
2
]2=
1
4
，由此即可求出函数y=x（1-2x）的最大值．
解答：解：∵0＜x＜
1
2
，
∴x（1-2x）=
1
2
•2x（1-2x）≤
1
2
•[
2x+(1-2x)
2
]2=
1
8

当且仅当2x=1-2x时，即x=
1
4
时等号成立
因此，函数y=x（1-2x）的最大值为f（
1
4
）=
1
8

故答案为：
1
8
点评：本题给出二次函数，求它在（0，
1
2
）上的最大值．着重考查了基本不等式、二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=loga[(
1
a
-2)x+1]在区间上[1，3]的函数值大于0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A、(
1
2
，1)
B、(
1
2
，
3
5
)
C、（1，+∞）
D、(0，
3
5
)
（2012•盐城一模）已知函数f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
(x∈R)．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，
π
4
]上的函数值的取值范围．
函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，已知0≤x＜4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）记函数g（x）=x-f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；
（Ⅲ）若方程g（x）-loga（x-
12
）=0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．
已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
问题1：已知函数f(x)=
x
1+x
，则f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示为f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
问题2：已知函数f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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