Question

【题目】已知公差的等差数列的前项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：是数列中的项；

（3）若正整数满足如下条件：存在正整数，使得数列，，为递增的等比数列，求的值所构成的集合.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) 见解析

【解析】

(1)根据等差数列性质,结合求得等再求的通项公式.
(2)先求出,再证明满足的通项公式.
(3)由数列,,为递增的等比数列可得,从而根据的通项公式求的值所构成的集合.

(1)因为为等差数列,故,故

或,又公差,所以,故,故.
(2)由可得,

故,

若是数列中的项,则

即,

即,故是数列中的项；

(3)由数列，，为递增的等比数列,则

即.由题意存在正整数使得等式成立,

因为,故能被5整除,设,

则,又为整数,故为整数设,即，故,解得,又,故,

不妨设,则.

即

又当时,由得

满足条件.

综上所述,.