Question

（本题满分16分）定义，，…，的“倒平均数”为（）．已知数列前项的“倒平均数”为，记（）．
（1）比较与的大小；
（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．
（3）设数列满足，（且），（且），且是周期为的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．

Answer 1

（1）设数列的前项和为，由题意得，
所以，……（1分）
当时，，当时，，而也满足此式．
所以（）．……（1分）
所以，……（1分）
，因此．……（1分）
（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，
即对任意恒成立，……（2分）
由（1）知数列是递增数列，所以只要，即，（2分）
解得或．……（1分）
所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立．…（1分）
（3）由，，得，……（1分）
① 若，则，，，因为周期为，故，所以，所以，（舍），故．
此时，为，，，，，，…．符合题意．……（1分）
② 若，则，，因为周期为，故，
所以，即或，解得或，均不合题意．…（1分）
设数列的前项和为，则对，有……（1分）
即 所以 因此．（2分）
 

略