Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，其中n∈N₊．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

-1}为等比数列；
（Ⅱ）记S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，若S_n＜100，求最大的正整数n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列递推式，变形可得

1

an+1

-1=

1

3an

-

1

3

，从而可证数列{

1

an

-1}为等比数列；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n．

解答：（Ⅰ）证明：∵

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，∴

1

an+1

-1=

1

3an

-

1

3

，
∵

1

a1

-≠0，∴

1

an

-1≠0(n∈N₊），
∴数列{

1

an

-1}为等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可求得

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1，∴

1

an

=2×(

1

3

)n+1
Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=n+2×(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)=n+2•

1 3 - 1 3n+1

1- 1 3

=n+1-

1

3n

，
若S_n＜100，则n+1-

1

3n

＜100，
∴n_max=99．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题．