Question

在数列{a_n}中，a1=

3

2

且满足a_n+1-2a_n+1=0
（1）求数列{ a_n }的通项公式；
（2）计算

lim

n→∞

sn-n

an

．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1-2a_n+1=0可得a_n+1=2（a_n-1）可得数列{a_n-1}是等比数列，可求
（2）由（1）an-1=

1

2

×2n-2即an=2n-2+1，利用分组可求S_n=(

1

2

+1)+(1+1)+(2+1)+…+（2^n-2+1），代入即可求解

解答：解：（1）由a_n+1-2a_n+1=0可得a_n+1-1=2（a_n-1）
∵a1-1=

1

2

∴数列{a_n-1}是以

1

2

为首项以2为公比的等比数列4分）      
（2）由（1）an-1=

1

2

×2n-2即an=2n-2+1
（也可以求几项，猜结论，数学归纳法证明） （8分） 
∵S_n=(

1

2

+1)+(1+1)+(2+1)+…+（2^n-2+1）
=(

1

2

+1+2+…+2n-2)+n
=2n-1+n-

1

2

∴

lim

n→∞

Sn-n

an

lim

n→∞

2n-1- 1 2

2n-2+1

=2 （12分）

点评：本题主要考查了利用数列递推关系构造等比数列求解通项，分组求和方法及等差数列、等比数列的求和公式的应用及数列极限的求解